Inviato: Ven Mar 23, 2007 2:07 pm Oggetto: Elezioni a Nanosville
Visti i soldi spesi (per il momento inutilmente) dalla nuova giunta, si è deciso di indurre le (ennesime) elezioni a Nanosville.
Stavolta i nanosvilliani cercano un sindaco capace, che riesca prendere in mano la città ed a condurla allo splendore che merita.
Ovviamente tutti gli n abitanti di Nanosville che sono abbastanza grandi da poterlo fare, si sentono in grado di adempiere a tale compito!
Memori del passato però, il gran consiglio dei saggi di Nanosville, un organo molto antico persente sin dalla fondazione della città, si è reso conto che il nuovo sindaco avrà spesso a che fare con scacchiere, cubi e affini...
Quindi meglio non far candidare cani e porci, anzi meglio sceglierne uno che già si sappia destreggiare con tali problemi...
Però un sindaco deve anche avere fortuna, non tutto si può prevedere!
Quindi ha deciso quindi di mettere una soglia per l'eleggibilità. I candidati dovranno essere in grado di superare una prova preliminare per poter essere considerati eleggibili.
In cosa consiste tale prova? Ad ognuno degli n aspiranti candidati verrà assegnato a caso un numero da 1 a n, in modo che due candidati non abbiano lo stesso numero. Poi gli verrà consegnata una enorme scacchiera (ma veramente enorme... se fosse possibile infinita ) e gli verrà chiesto di formare un quadrato pieno di lato pari al numero che ha ricevuto su tale scacchiera con delle pedine.
A questo punto, per essere considerato eleggibile, dovrà cercare di far rimanere una sola pedina come nel famoso solitario (se non lo conoscete leggete sotto):
- In una mossa una pedina può saltare quella che gli sta sopra, sotto, a destra o a sinistra a patto che la casella successiva sia libera.
- La pedina saltata viene rimossa dalla scacchiera.
Inizia la prova! Sapete dire, ammesso che gli n aspiranti siano tutti veramente bravi come pensano, quanti riusciranno a superare questa fase? Conta più la bravura o la fortuna? _________________ I biologi pensano di essere biochimici.
I biochimici pensano di essere chimici.
I chimici pensano di essere fisici.
I fisici pensano di essere Dio.
Dio pensa di essere un matematico.
Un po' di domande per vedere se ho capito:
1) se ho pesacto il numero 1 che succede? ho vinto in automatico?
2) se ho pescato il numero 3 mi verranno date 8 pedine e dovro costruire un qadrato 3x3 (con un buco ne mezzo?) e dovro risolvere il solitario (lasciando l'ultima pedina nel centro?)
3) i quadrati immagino dovranno essere "paralleli" alla scacchiera....o possono anche essere inclinati di 45 gradi?
4) nel caso (vedi punto 2) il buco iniziale e la pedina finale debbano essere al centro che fare se pesco un numero pari?
5) visto che la scacchiera è infinita (o quasi) posso sfruttare anche le caselle "esterne" al mio quadrato?
6) in tal caso forse non c'e' la casella vuota di cui ai punti 2 e 4... _________________ doppiaGGi
____________
"Il y a des esprits qui vont à l'erreur par toutes les vérités; il en est de plus heureux qui vont aux grandes vérités par toutes les erreurs"
J. Joubert
1) Direi di si
2) Nessuno ha mai detto che il quadrato sia bucato
3) Paralleli
4) Vedi 2
5) Altrimenti mi pare difficile...
6) Segue banalmente dalle precedenti _________________ I biologi pensano di essere biochimici.
I biochimici pensano di essere chimici.
I chimici pensano di essere fisici.
I fisici pensano di essere Dio.
Dio pensa di essere un matematico.
Premesso che:non capisco di cosa si lamentino a Nanosville:
Il piano regolatore ha avuto successo nonostante le limitazioni ed il verde cittadino è stato portato al 40% (rispattando le leggi ed il piano regolatore) ; pure i wonkascensori sono stati un successo: tutti i 1000 negozi del centro commerciale sono serviti da almeno un wonkascensore.
Partiamo ora dalla parte logica del problema.
Si.
O contano uguale o conta di più la fortuna, a seconda del numero di aspiranti.
Visto che gli aspiranti sono bravi come pensano e che pensano di poter essere eletti, la bravura conta nulla, conta solo il problema è risolvibile o meno.
Conta di più la fortuna se e solo se almeno uno dei candidati viene sottoposto ad una prova irrisolvibile ed almeno uno ad una prova risolvibile, per cui con n>2, altrimenti fortuna e bravura contano uguale.
Quanto alla parte pizzosa del problema,tolti gli ovvi casi n=1 ed n=0, se n è del tipo...
n=4*q ==> (n+2)/2
n=4*q+1 ==> (n+3)/2
n=4*q+2 ==> (n+2)/2
n=4*q+3 ==> (n+1)/2
Con q naturale.
Ciao
Carson
P.S. Mi accorgo solo ora rileggendo il problema che se sono veramente bravi...TUTTI i candidati supereranno questa fase.
I saggi sono veramente saggi: tutti possono superare la prova, ma se qualcuno la supererà e non se ne accorgerà....bene fa il consiglio ad eliminarlo.
Ti spiegheresti meglio?....
Sarà che sono lento io, ma o non ho capito niente o non ha senso quello che hai scritto... _________________ I biologi pensano di essere biochimici.
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SE ho capito bene, per te per n=16 ne passano 9 mentre a me ne risulterebbero 11.
Se metti una spiegazioncina... magari ti so dire di più _________________ I biologi pensano di essere biochimici.
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Stavo giusto giusto facendo una tabellina, per dire che pure le altre non mi tornavano.
Per fortuna che mi hai fermato, perchè a far tabelle qua ci divento scemo
Hmm... ho scritto "divento"... _________________ I biologi pensano di essere biochimici.
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Inviato: Lun Apr 02, 2007 10:46 am Oggetto:
Mamma mia!!!!! Sto imapazzendo! Allora, PREMESSA: non l'ho ancora fatto. Però, pensandoci e ripensandoci, nel frattempo ho dimostrato che non è mai risolvibile se si ammettono SOLO le mosse verso destra e verso il basso, a parte il quadrato 2x2 (e 1x1). Magari è una stupidata colossale e si dimostra in un attimo (è molto probabile che esista una soluzione banalissima che io non ho trovato, visto come è conciato per ora il mio cervello: ricordo che ho trovato la mia dimostrazione pensando al problema originale, ma magari affrontando direttamente questo ci si accorge che è molto più banale di quanto sia saltato fuori a me); se così non fosse provateci, io l'ho fatto in una maniera un po' stravagante ma carina. Io torno al problema originale... _________________ Ciao!
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Inviato: Lun Apr 02, 2007 12:52 pm Oggetto:
Alè oh oh!
Finalmente ho risolto un pezzo! Ho capito quando si può risolvere... (era ora ) resta "solo" da dimostrare che negli altri casi non si può risolvere! Per ora non scrivo la mia ipotesi... Voglio provare prima a completare la soluzione... se non ci riesco entro un tot scriverò quello che ho trovato per ora! _________________ Ciao!
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Inviato: Lun Apr 02, 2007 1:48 pm Oggetto:
FATTO! E colorando, quindi sono ancora più contenta!
Allora, innanzitutto:
Gli "sfortunati" sono quelli che beccano un multiplo di 3, quindi diciamo che circa 1 su 3 non ce la può fare.
Cominciamo con la strategia risolutiva per i non multipli di 3: dato per assunto che con n=1 e n=2 si risolve (con n=1 è già risolto e con n=2 è immediato quindi non faccio il disegnino), farò vedere che si può togliere una "L" di bordo spessa 3 quadretti da qualsiasi quadrato, e che quindi ci si può ricondurre ai casi noti. Oddio, mi sta venendo l'angoscia al pensiero di fare i disegnini oppure descrivere il metodo... per ora evito, poi con calma lo metterò (ma solo su esplicita richiesta di qualcuno perchè mi sto rendendo conto che è noiosissimo! )
Per ora accontentatevi per quanto riguarda la strategia... invece scrivo la mia dimostrazione di impossibilità per n multiplo di 3.
COLORIAMO LA SCACCHIERA!!!
R=rosso, G=giallo, V=verde
Codice:
.......................
...R G V R G V R G V...
...G V R G V R G V R...
...V R G V R G V R G...
...R G V R G V R G V...
...G V R G V R G V R...
...V R G V R G V R G...
...R G V R G V R G V...
...G V R G V R G V R...
...V R G V R G V R G...
.......................
Ora... se piazzo qui dentro un quadrato nxn con n multiplo di 3, coprirà esattamente x caselle rosse, x gialle e x verdi, con x = ( n^2 ) / 3.
In tutto quante mosse si fanno? deve rimanere una pallina, all'inizio ne ho n^2, quindi n^2-1 mosse, cioè 3x-1 mosse.
Osservazione: che succede quando mangio una pallina? prendo per es. una pallina su una casella gialla, se muovo a destra mangio una verde e la sposto su una rossa. Qualsiasi mossa coinvolge 3 colori: quello della casella della pallina che mangia, quello della casella della pallina mangiata, e quello della casella di arrivo. Quindi ad ogni mossa il numero delle caselle per es. gialle occupate da una pallina deve o aumentare di 1 (se è gialla la casella di arrivo) oppure diminuire di 1 (se è gialla la casella di partenza o quella della pallina mangiata).
Allora, se 'a' è il numero di mosse in cui si abbassa di 1 il numero di caselle gialle occupate e 'b' è il numero di mosse in cui si alza di 1 il numero di caselle gialle occupate, ho che a+b=3x-1 (numero tot di mosse già calcolato prima).
Ma alla fine rimane solo una pallina, e supponiamo senza perdita di generalità che NON sia gialla: quindi alla fine rimangono 0 caselle gialle occupate; ne avevo x all'inizio, ne ho eliminata 1 'a' volte e ne ho aggiunta 1 'b' volte:
x-a+b=0
a+b=3x-1
=>x=b+1/2
Ma b è un tot di mosse, quindi è naturale... x è un tot di caselle, quindi è naturale... 1/2 invece no... ASSURDO!
Spero di non aver preso un granchio con la dimostrazione... ma spero soprattutto che NON vogliate che faccia i disegnini per la strategia risolutiva!!!!! _________________ Ciao!
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) resta "solo" da dimostrare che negli altri casi non si può risolvere! Per ora non scrivo la mia ipotesi... Voglio provare prima a completare la soluzione... se non ci riesco entro un tot scriverò quello che ho trovato per ora!
