| Precedente :: Successivo |
| Autore |
Messaggio |
doppiaGGi
Frequentatore del Forum
Registrato: Sep 28, 2003
Messaggi: 464
|
 Inviato: Mar Gen 09, 2007 3:37 pm Oggetto: QUESITO MATEMATICO |
 |
|
Questo quesito è stato posto da un professore di analisi numerica ed ha tenuto in scacco per qualche settimana professori e studenti della mia università.
Il quesito è stato posto in questi termini:
| Citazione: | | Quanti omomorfismi di campi da R in R esistono? |
Scritto cosi' sembra un problema che solo un laureato in matematica possa risolvere ma con una breve spiegazione anche uno studente del liceo puo' capire la soluzione (l'abbiamo trovata..... a meno di eventuali errori).
Un omomorfismo di campi non è altro che una funzione che rispetta le due operazioni di campo (addizione e moltiplicazione) e che mappa igli elementi neutri dello psazio di partenza nei rispettivi elementi neutri nello spazio d'arrivo.
Nel caso specifico si tratta di una funzione f:R->R con le seguenti proprietà:
1) f(0)=0
2) f(1)=1
3) per ogni a,b in R si ha che f(a+b)=f(a)+f(b)
4) per ogni c,d in R si ha che f(c*d)=f(c)*f(d)
Quindi il problema si riduce a trovare quante funzioni da R in R soddisfano queste proprietà.
Sono convinto che se partisse una bella discussione sull'argomento possiate trovare abbastanza facilmente la soluzione e, in tal caso, vi proporrei anche un'interesante estensione proposta da Ipazia.
_________________
doppiaGGi 
____________
"Il y a des esprits qui vont à l'erreur par toutes les vérités; il en est de plus heureux qui vont aux grandes vérités par toutes les erreurs"
J. Joubert |
|
| Torna in cima |
|
 |
noodles
Frequentatore del Forum
Registrato: Dec 01, 2002
Messaggi: 169
|
| Inviato: Mar Gen 09, 2007 9:11 pm Oggetto: |
|
|
1) f(0)=0
2) f(1)=1
3) per ogni a,b in R si ha che f(a+b)=f(a)+f(b)
4) per ogni c,d in R si ha che f(c*d)=f(c)*f(d)
a è diverso da b?
c è diverso da d?
se possono anche essere uguali:
f(1+1)=f(2)=f(1)+f(1)=2
e vado avanti
mi insultero' da solo  perdonatemi  |
|
| Torna in cima |
|
|
doppiaGGi
Frequentatore del Forum
Registrato: Sep 28, 2003
Messaggi: 464
|
| Inviato: Gio Gen 11, 2007 12:20 am Oggetto: |
|
|
Il tuo ragionamento direi che è perfetto!
Hai appena dimostrato che f(2)=2 e continuando che in generale f(n)=n per ogni numero naturale!
Ora rimane da sistemare il resto di R....
_________________
doppiaGGi
____________
"Il y a des esprits qui vont à l'erreur par toutes les vérités; il en est de plus heureux qui vont aux grandes vérités par toutes les erreurs"
J. Joubert |
|
| Torna in cima |
|
|
noodles
Frequentatore del Forum
Registrato: Dec 01, 2002
Messaggi: 169
|
| Inviato: Gio Gen 11, 2007 5:49 pm Oggetto: |
|
|
quindi anche Z sta a posto (basta che sottraggo)
ora mancano SOLO gli altri, pero' se uso la proprietà del prodotto:
f(1/2)=f(1)/f(2)=1/2
mi pare che possa sistemare pure i numeri razionali
Quindi per ora sembrerebbe esserci un unico omomorfismo bla bla bla...( f(x)=x )
Pero' gli irrazionali come faccio? (sempre che fin qui sia giusto) |
|
| Torna in cima |
|
|
doppiaGGi
Frequentatore del Forum
Registrato: Sep 28, 2003
Messaggi: 464
|
| Inviato: Ven Gen 12, 2007 12:25 am Oggetto: |
|
|
Direi che la corsa verso la soluzione è partita....siete sulla buona strada.
Prima di passare ai numeri trascendenti (pi,e,....) bisognerebbe vedere cosa si puo' dire dei numeri algebrici (radici irrazionali &co)
_________________
doppiaGGi
____________
"Il y a des esprits qui vont à l'erreur par toutes les vérités; il en est de plus heureux qui vont aux grandes vérités par toutes les erreurs"
J. Joubert |
|
| Torna in cima |
|
|
noodles
Frequentatore del Forum
Registrato: Dec 01, 2002
Messaggi: 169
|
| Inviato: Ven Gen 12, 2007 6:28 pm Oggetto: |
|
|
f( sqr(2) * sqr(2))=f(2)=2=f(sqr(2)) * f(sqr(2))
quindi mi verrebbe da dire
f(sqr(2))=sqr(2)
giusto? se si faccio lo stesso per gli altri
attendo risposta per sapere se è giusto... |
|
| Torna in cima |
|
|
doppiaGGi
Frequentatore del Forum
Registrato: Sep 28, 2003
Messaggi: 464
|
| Inviato: Sab Gen 13, 2007 2:21 pm Oggetto: |
|
|
direi che non fa una grinza. generalizzando un pelino tutto cio' che è stato detto finora si dimostra che che la funzione è f(x)0=x almeno per tutti i numeri algebrici (cioè tutti i numeri che sono soluzione di un'equazione polinomiale: P(x)=0 con P(x) polinomio in x)
_________________
doppiaGGi
____________
"Il y a des esprits qui vont à l'erreur par toutes les vérités; il en est de plus heureux qui vont aux grandes vérités par toutes les erreurs"
J. Joubert |
|
| Torna in cima |
|
|
doppiaGGi
Frequentatore del Forum
Registrato: Sep 28, 2003
Messaggi: 464
|
| Inviato: Sab Gen 13, 2007 2:22 pm Oggetto: |
|
|
in realta' se vogliamo essere pignoli P(x) è un polinomio in x "a coeffcienti interi"
_________________
doppiaGGi
____________
"Il y a des esprits qui vont à l'erreur par toutes les vérités; il en est de plus heureux qui vont aux grandes vérités par toutes les erreurs"
J. Joubert |
|
| Torna in cima |
|
|
lpcr
Utente Non Attivo
Registrato: Jan 17, 2007
Messaggi: 190
|
| Inviato: Lun Mar 19, 2007 2:26 pm Oggetto: |
|
|
Uno in R e due in C.
Detto rapido: un automorfismo di campi fissa il campo base e poichè è compatibile con le operazioni è "order preserving", quindi è l'identità su R, per continuità.
Su C basta osservare che può mandare i solamente in i o in -i. (E questo è una conferma indiretta del fatto che non esiste un ordinamento su C compatibile con le operazioni di campo).
_________________
I biologi pensano di essere biochimici.
I biochimici pensano di essere chimici.
I chimici pensano di essere fisici.
I fisici pensano di essere Dio.
Dio pensa di essere un matematico. |
|
| Torna in cima |
|
|
doppiaGGi
Frequentatore del Forum
Registrato: Sep 28, 2003
Messaggi: 464
|
| Inviato: Mar Mar 20, 2007 10:06 pm Oggetto: |
|
|
Chi ha parlato di continuità?
_________________
doppiaGGi
____________
"Il y a des esprits qui vont à l'erreur par toutes les vérités; il en est de plus heureux qui vont aux grandes vérités par toutes les erreurs"
J. Joubert |
|
| Torna in cima |
|
|
lpcr
Utente Non Attivo
Registrato: Jan 17, 2007
Messaggi: 190
|
| Inviato: Mer Mar 21, 2007 11:42 am Oggetto: |
|
|
continuità di R, non dell'automorfismo...
_________________
I biologi pensano di essere biochimici.
I biochimici pensano di essere chimici.
I chimici pensano di essere fisici.
I fisici pensano di essere Dio.
Dio pensa di essere un matematico. |
|
| Torna in cima |
|
|
|
giovedì 09-feb-12 09:05
Complessivo: 102934
Persone Online:
Visitatori: 
Iscritti: 240
Totale: 240
FAQ
Cerca
Gruppi utenti
Profilo
Messaggi Privati
Login
