Inviato: Mer Mar 14, 2007 11:06 am Oggetto: Ancora brutti periodi
I brutti periodi, a quanto pare, non finiscono mai...
Costruite la sequenza:
0 -> 01 -> 0110 -> 01101001 -> 0110100110010110 -> ....
in modo che l'elemento di posto n sia dato aggiungendo in coda a quello di posto n-1 lui stesso con gli 0 al posto degli 1 e gli uno al posto degli 0...
Si capisce? Speriamo di si...
Questa sequenza è periodica? Se si, di che periodo?
Nota: La sequenza è "almost famous", quindi la risposta si potrebbe trovare googlando un pò... uomo avvisato... _________________ I biologi pensano di essere biochimici.
I biochimici pensano di essere chimici.
I chimici pensano di essere fisici.
I fisici pensano di essere Dio.
Dio pensa di essere un matematico.
Ma uffi non interessano a nessuno i miei periodi...
Vi capisco, ci son problemi ben più belli di questo (sigh, non miei) verso la fine della pagina... (qualsiasi riferimento a nani o streghe è puramente casuale...)
E io un aiutino lo metto lo stesso:
Provate a vedere di cosa è multiplo il periodo...
Forse lo potevo pure scrivere un poco più grande...
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Registrato: Oct 04, 2003 Messaggi: 276 Località: Como
Inviato: Gio Mar 22, 2007 2:47 pm Oggetto:
Credo di averlo fatto! Però abbiate pazienza perchè non l'ho formalizzato bene, quindi la spiegazione potrebbe essere un po'... così e così.
Dimostriamo che il periodo deve essere multiplo di 2.
Dividiamo tutta la sequenza in coppie di cifre... anzi, visto che mi piace colorare, coloriamo dall'inizio la sequenza in questo modo: 2 rossi, 2 verdi, 2 rossi ecc. Osserviamo che per come la sequenza è costruita i numeri all'interno della stessa coppia sono diversi. Da un certo punto in poi, entriamo nella parte periodica (così se c'era l'antiperiodo non importa). Il periodo è lungo k, assumendo k dispari per assurdo. Cominciamo a dividere in periodi a partire dall'inizio di una coppia rossa: poichè k è dispari, inizia con 2 rossi e termina con un solo rosso oppure un solo verde. Considero anche il periodo successivo e immagino di disegnarlo sotto il primo. I numeri uno sopra l'altro sono uguali perchè stanno nella stessa posizione del periodo, i numeri uno vicino all'altro nella stessa coppia sono diversi. Ricordando che le coppie sono sfasate sopra e sotto perchè k è dispari, posso disegnare le uguaglianze e disuguaglianze che conosco:
Codice:
O!=O X!=X O!=O X
| | | | | | |
X O!=O X!=X O!=O
dove i cerchietti sono i numeri rossi (0 oppure 1), le croci sono i numeri verdi (sempre 0 oppure 1), le barre verticali significano "uguale" e "!=" significa diverso. A causa dell'alternanza delle posizioni dei "!=", si possono aggiungere i "!=" anche dove non ci sono (se a!=b e c=a e d=b allora c!=d). Quindi i periodi che iniziano con 0 finiscono con 0 e quelli che iniziano con 1 finiscono con 1 (essendo lunghi k con k dispari). Ma questo è assurdo perchè l'ultimo numero del primo periodo e il primo del secondo avrebbero dovuto essere diversi perchè appartengono alla stessa coppia.
Ora, supponiamo quindi che il periodo sia multiplo di 2 ma (per assurdo) non di 4. Stavolta coloro la sequenza dall'inizio così: 4 rossi e 4 verdi eccetera. Poi faccio esattamente quello che ho fatto prima (scrivo 2 periodi uno sotto l'altro), ma ora considero solo i numeri di posto dispari (o pari, è uguale), gli altri li cancello (non ho problemi perchè il periodo era pari per ipotesi e anche 4 lo è, e anche 2^n in generale, per dopo). Il periodo che sto considerando adesso è diventato dispari, ma vale ancora che due numeri nella stessa coppia sono diversi (sempre per come è costruita la sequenza), e trovo lo stesso assurdo di prima, quindi il periodo è multiplo di 4. Ora, supponiamo che sia multiplo di 4 e non di 8... eccetera eccetera, mi riconduco sempre al caso precedente. Quindi il periodo è infinito... ovvero i brutti periodi non finiscono mai!
Uff, pare che ce l'abbia fatta finalmente! Grazie per il suggerimento! Potrebbe esserci qualcosa che non torna nella mia dimostrazione... sono confusa e non credo di avere spiegato chiaramente... ma sono contenta e soddisfatta! Almeno fino a quando non troverai l'errore nella mia dimostrazione!!! _________________ Ciao!
Si, pare proprio che tu cel'abbia fatta, per di più colorando... e colorare piace un sacco anche a me!
Inutile dire che è la classica dimostrazione che a parole è mooolto più bella che per scritto, come tutte le dimostrazioni con le colorazioni.
Perchè sono emozionato? Perchè qualcuno calcola i miei brutti periodi... e perchè la mia dimostrazione non colorava, quindi questa mi piace un sacco!
Edit: Se interessa a qualcuno la posto. _________________ I biologi pensano di essere biochimici.
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Allora... iniziamo:
Otteniamo lo stesso risultato di Ipazia in un altro modo...
La sequenza la posso vedere anche generata in questo modo:
- parto da 0
- mando 0 in 01 e 1 in 10
A questo punto, se ho fatto n passi la mia sequenza è lunga 2^n... se faccio un altro passo diventa lunga 2^(n+1), ma costruendola così risulta ovvio che si ha c(k)=c(2k) e c(2k+1)=1-c(k) (c(k) è la cifra ci posto k, chiamando 0 il posto della prima cifra).
Quindi c(k) e c(2k+1) sono sempre diverse.
A questo punto supponiamo che c(k) stia nel periodo. Allora dovremmo concludere che k+1 non è un multiplo del periodo... per lo stesso motivo non lo è nemmeno n+1, n+2, n+3....
Spero sia comprensibile... _________________ I biologi pensano di essere biochimici.
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Registrato: Oct 04, 2003 Messaggi: 276 Località: Como
Inviato: Gio Mar 22, 2007 4:19 pm Oggetto:
Carina, mi piace! Ma allora... ho utilizzato il tuo suggerimento in un modo completamente diverso da quello che avevi in mente tu! Che coincidenza! Comunque bel problema... e non è che fino ad ora non mi interessava... anzi... spesso ci provavo ma non riuscivo! _________________ Ciao!
"Se tu hai una mela ed io ho una mela e ce le scambiamo, restiamo entrambi con una mela. Ma se tu hai un'idea ed io ho un'idea e ce le scambiamo, allora ciascuno di noi ha due idee."
George Bernard Shaw _________________ I biologi pensano di essere biochimici.
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